4.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION DE FUNCIONES

 Concavidad

Ya se ha visto que localizar los intervalos en los que una función ƒ es creciente o decreciente

ayuda a describir su gráfica. En esta sección, se verá cómo el localizar los intervalos en los

que ƒ' es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar dónde la gráfica de ƒ se

curva hacia arriba o se curva hacia abajo.

DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD

Sea ƒ derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba

sobre I si ƒ' es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en I si ƒ' es decreciente

en el intervalo.

CRITERIO DE CONCAVIDAD

Sea ƒ una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.

1. Si ƒ'(x) = 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba

en I.

2. Si ƒ'(x) = 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia abajo

en I.

Puntos de inflexión

DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN

Sea ƒ una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese

intervalo. Si la gráfica de ƒ tiene una recta tangente en este punto (c, ƒ(c)), entonces

este punto es un punto de inflexión de la gráfica de ƒ si la concavidad de ƒ cambia

de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o de cóncava hacia abajo a cóncava

hacia arriba) en ese punto.

Para localizar los posibles puntos de inflexión, se pueden determinar los valores de x

para los cuales ƒ'(x) = 0 o ƒ'(x) no existe. Esto es similar al procedimiento para localizar

los extremos relativos de ƒ.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Si (c, ƒ(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de ƒ, entonces ƒ'(c) = 0 o ƒ' no

existe en x = c.

Te recomiendo este video para que puedas reforzar tus conocimientos sobre este tema.