4.6 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS

 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos de la función

Una función y = f(x) tiene un máximo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo.

Segundo método para calcular los máximos y mínimos de una función (pasos a seguir para su solución)

1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.

2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante, se determina las raíces reales o valores críticos de la variable.

3. Se encuentra la segunda derivada de la función dada.

4. Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos.

Si el valor resultante es negativo, la función presenta un máximo para el valor crítico considerado; si el valor resultante es positivo, la función presenta un mínimo para el valor crítico considerado.

El método anterior no es aplicable si la segunda derivada es igual a cero o no existe; en su lugar se aplica el primer método.

Problema: Encontrar los máximos y mínimos de la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ usando el criterio de la segunda derivada.

Paso 1: Calcular la primera derivada

La primera derivada nos ayuda a identificar los puntos críticos (donde la pendiente es cero o no está definida).
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

Paso 2: Igualar la primera derivada a cero

Resolvemos $f'(x) = 0$para encontrar los puntos críticos:
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
Factorizamos:
$3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$3(x - 3)(x - 1) = 0$
Por lo tanto, los puntos críticos son:
$x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3$

Paso 3: Calcular la segunda derivada

La segunda derivada nos dirá la concavidad de la función en estos puntos:
$f''(x) = 6x - 12$

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos

1. Para $x = 1$:
   $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$
   Como $f''(1) < 0$, la función es cóncava hacia abajo en $x = 1$. Esto significa que $x = 1$ es un máximo relativo.

2. Para $x = 3$:
   $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$
   Como $f''(3) > 0$, la función es cóncava hacia arriba en $x = 3$. Esto significa que $x = 3$ es un mínimo relativo.

Paso 5: Encontrar los valores de $f(x)$ en los puntos críticos

Sustituimos los valores de $x$ en la función original para obtener los valores de $f(x)$:

1. Para $x = 1$:
   $f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$
   Máximo relativo en $(1, 5)$.

2. Para $x = 3$:
   $f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
   Mínimo relativo en $(3, 1)$.

Recomiendo ver el siguiente video para que el entendimiento del tema sea mas de tu agrado.