4.3 VALORES EXTREMOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

 

Definición de los máximos y mínimos de una función

 Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que: 

a) f(c) se llama un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f(c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado. 

b) f(c) se llama un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) ≥ f(c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f(c) es menor que uno cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

De las anteriores definiciones se hace notar que no deben confundirse los máximos y mínimos relativos con los puntos máximos o mínimos de la función, que son aquellos donde la ordenada y es mayor o menor en la gráfica, por lo que se denominan absolutos. 

Valor crítico

Si c es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a c se le denomina valor crítico de la función si f'(c) = 0 of'(c) no existe. El valor crítico de una función nos permite analizar si la función tiene un máximo o mínimo relativo.

Primer método para calcular los máximos y mínimos de una función (pasos a seguir para su solución)

1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.

2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos de la variable.

3. Se consideran los valores críticos uno por uno, para determinar los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo relativo para el valor crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo relativo. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado. 

Ejemplo de cómo encontrar máximos y mínimos de una función

Supongamos que queremos analizar la función $f(x) = x^2 - 4x$ y encontrar sus máximos y mínimos.

Paso 1: Encuentra la primera derivada de la función

La primera derivada de la función nos ayuda a entender cómo cambia la función en diferentes puntos. La derivada de $f(x) = x^2 - 4x$:

$$f'(x) = 2x - 4$$

Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar los valores críticos

Para encontrar los valores de $x$ donde la función podría tener un máximo o un mínimo, igualamos la derivada a cero:

$$2x - 4 = 0$$

Resolvemos para $x$:

$$2x = 4$$
$$x = 2$$

Así que el valor crítico es $x = 2$. Ahora necesitamos determinar si en ese punto la función tiene un máximo o un mínimo.

Paso 3: Analizar el signo de la derivada antes y después del valor crítico

Vamos a analizar cómo cambia el signo de la derivada antes y después de $x = 2$.

• Para un valor de $x$ menor que 2, por ejemplo $x = 1$, evaluamos la derivada:

$$f'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 \quad (\text{negativo})$$

• Para un valor de $x$ mayor que 2, por ejemplo $x = 3$, evaluamos la derivada:

$$f'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad (\text{positivo})$$

Conclusión: Como la derivada cambia de negativa a positiva, significa que la función tiene un mínimo relativo en $x = 2$.

Paso 4: Calcular el valor de la función en el punto crítico

Finalmente, para saber el valor del mínimo, sustituimos $x = 2$ en la función original $f(x) = x^2 - 4x$:

$$f(2) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$$

Así que el mínimo relativo de la función es $-4$ en $x = 2$.

$Dejamos este video por si no ha quedao algo en claro y puedas revisarlo.$