4.2 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

 En esta sección se verá cómo se pueden utilizar las derivadas para clasificar extremos re-

lativos ya sea como mínimos o como máximos relativos. En primer término, es importante 

definir las funciones crecientes y decrecientes.

 

DEFINICIÓN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función ƒ es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1 y

x2 en el intervalo, x1 < x2 implica ƒ(x1) < ƒ(x2).

Una función ƒ es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x1

y x2 en el intervalo, x1<x2 implica ƒ(x1) > ƒ(x2). 

CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Sea ƒ una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el

intervalo abierto (a, b).

1. Si ƒ'(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es creciente en [a, b].

2. Si ƒ'(x) = 0 para todo x en (a, b) entonces ƒ es decreciente en [a, b].

3. Si ƒ'(x) = 0 para todo x en (a, b) entonces ƒ es constante en [a, b]. 

Ejemplo 1: Función creciente

Considera la función $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0, \infty)$.

1. Derivada de la función:
   La derivada de $f(x) = x^2$ es:

   $$f'(x) = 2x$$
   

2. Análisis del signo de la derivada:

   • Para $x \geq 0$ $f'(x) = 2x \geq 0$ Esto significa que la función es creciente en el intervalo $[0, \infty)$, porque la derivada es positiva o cero.

3. Comprobación visual: Si graficamos la función $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0, \infty)$, veremos que la curva asciende conforme $x$ aumenta, lo que confirma que es creciente.

Ejemplo 2: Función decreciente

Considera la función $f(x) = -x^2$ en el intervalo $(-\infty, 0]$.

1. Derivada de la función: La derivada de $f(x) = -x^2$ es:

   $$f'(x) = -2x$$
   

2. Análisis del signo de la derivada:

   • Para $x \leq 0$ $f'(x) = -2x \geq 0$. Esto significa que la función es decreciente en el intervalo $(-\infty, 0]$, porque la derivada es negativa.

3. Comprobación visual: Si graficamos la función $f(x) = -x^2$ en el intervalo $(-\infty, 0]$, veremos que la curva desciende conforme $x$ disminuye, lo que confirma que es decreciente.

Recomiendo ver el siguiente video por si ha quedado duda en algún punto de este blog.

Funciones Crecientes y Decrecientes: