4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio.

Teorema de Rolle

El teorema establece que una función continua en un intervalo cerrado [a,b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. 

Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
Si 

            ƒ(a) =ƒ(b)

entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ′(c) = 0.

A continuación mostrare una demostración sobre el Teorema de Rolle.

 

                                                            Sea ƒ(a) = d =ƒ(b).

Caso 1: Si ƒ(x) = d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2,

ƒ(x) = 0 para todo x en (a, b).

Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se

sabe que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo. Además, como ƒ(c) > d, este

máximo no puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el

intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2,

c es un número crítico de f. Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que

ƒ'(c) =0.

Caso 3: Si ƒ(x) < d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso

2, pero implicando el mínimo en vez del máximo.

Si aun no queda claro el teorema, a continuación dejare un ejemplo sobre esto.

Considera la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[1, 3]$

1. Verificación de las condiciones del teorema de Rolle:

   • La función es un polinomio, por lo que es continua y diferenciable en todo $\mathbb{R}$, en particular en el intervalo $[1, 3]$.
   • Evaluamos la función en los extremos del intervalo: $$f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$$
     $$f(3)=3^2-4(3)+3=0$$Como $f(1) = f(3) = 0$, se cumple la condición $f(a) = f(b)$.

2. Aplicación del teorema de Rolle: Según el teorema, debe existir al menos un $c \in (1, 3)$ tal que $f'(c) = 0$.

3. Derivada de la función: La derivada de $f(x)$ es:

   $$f'(x) = 2x - 4$$

4. Encontramos el valor de $c$: Resolvemos la ecuación $f'(c) = 0$:

   $$2c - 4 = 0$$ $$c = 2$$

Por lo tanto, el punto $c = 2$ satisface $f'(c) = 0$, y se cumple el teorema de Rolle.

También puedes visualizar el siguiente el video que recomendamos para que sea mejor el entendimiento del tema.